为了促进学习,打算翻译Terence Tao博客上的这篇文章。题目是:Recent progress on Kakeya Conjecture.

      下面的这篇文章是我在Fefferman会议上的一个讲稿。题目是:Recent progress on Kakeya Conjecture.

      Kakeya的一系列猜想是我感兴趣的众多数学问题之一。关于这些猜想有很多不同的描述,下面的这个描述是最简单的一个:

      给定一个\mathbb R^n上的紧子集$\latex E\subset \mathbb R^n$, 它包含所有方向的单位向量。猜想EHausdorff维数Minkowski维数n
这个包含各个方向单位向量的集合E就是Kakeya集。Besicovitch已经证明当n\geq0时,Kakeya集可以具有任意小Letesgue测度;实际上,它的Lebesgue测度可以使0。这也就是说Kakeya针问题(在一个平面上转动一个单位线段化过的最小面积是多少)的解是这个集合的面积可以是任意小(详细讨论点击进入)。

     这个猜想在一维空间是平凡的,二维空间已经得到证明(参见Davies)。3维以上情形中,这个猜想还是公开问题。 然而,关这个猜想有一系列的部分结果。特别是关于\mathbb R^n上的Kakeya 集合的Hausdorff维数或者Minkowski维数至少是某些d。(这些d逐渐靠近n)。我们可以通过如下的方式来构建一系列等价方式的结果。设0<\delta<1任意小,设T_1,\cdots T_N是一系列1\times\delta细棒的集合。每个细棒指向一个\delta分离的方向。即不同的细棒T_i,T_j指向的方向\omega_i,\omega_j之间的夹角\angle\omega_i\omega_j\geq\delta。这个\delta分离性保证了N可以被o(\delta^{1-n})控制。假设这个N已经达到它的极大值,则我们有N\gg\delta^{1-n}。因此,关于Kakeya猜想(关于Minkowski维数)可以等价于获得如下估计:

\displaystyle |\bigcup_{i=1}^NT_i|\gg_\varepsilon\delta^\varepsilon.

其中,\varepsilon>0为任意小常数,|E|表示集合E的测度,A\gg_\varepsilon B表示差一个依赖于\varepsilon的常数C_\varepsilonA\geq C_\varepsilon B。同理,一个部分结果

\displaystyle |\bigcup_{i=1}^NT_i|\gg_\varepsilon\delta^{n-d+\varepsilon}\ \ \ \ \ \ (1)

意味着Kakeya 集的(下)Minkowski维数为d,其中0\leq d\leq n

   另外,Kakeya 极大函数猜想也是一个有趣的问题。在上面的条件下,猜想如下不等式:

\displaystyle \|\sum_{i=1}^N 1_{T_i}\|_{L^{d/(d-1)}(\mathbb R^n)}\ll_\varepsilon\big(\frac{1}{\delta}\big)^{\frac{n}{d}-1-\varepsilon}\ \ \ \ \ \ (2)

其中,1\leq d\leq n, \varepsilon>0。 这个猜想行对于d=1是平凡的,当d逼近$n$时,问题就变得十分复杂。对于给定的d,可以证明(2)推出(1)。也就是说,(2)式成立意味着Kakeya集合的Minkowski维数为d,事实上,(2)式还可以用于说明Kakeya集的Hausdorff维数为d。之所以称(2)式为Kakeya极大函数猜想是因为(2)是如下Kakeya 极大函数:

\displaystyle f^*_\delta(\omega):=\sup_{T//\omega}\frac{1}{T}\int_{T}|f|,

L^p估计的对偶形式。这个极大函数是所有指向\omega方向的1\times \delta细棒集合上的Hardy-Littlewood极大函数的变形。但是在我们的讨论中将不再提及这个极大函数。

      Kakeya猜想可以在数学的很多领域都有广泛的应用。如在Fourier分析(首先由Fefferman引入)、波动方程(由Wolff引入)、数论(由Bourgain引入)、图论(由Bourgain引入)以及计算机科学中的随机数论(由Dyirand Wigderson引入)等等。然而,在本文中,我们并不关注Kakeya猜想在数学其他众多领域的影响力,而主要探讨在那些数学领域中,Kakeya猜想本身的研究得到了推进。特别要注意的是,在这些领域内的新技巧在Kakeya猜想的研究中已经取得了一些非平凡的部分结果。我更关心的是,这些领域的技巧是怎样应用到Kakeya问题上来的。

  • 随机几何学
  • 可加组合学
  • 多尺度分析
  • 热流
  • 代数几何学
  • 代数拓扑学

1、随机几何学

自从Kakeya猜想的现代表述产生之后,关于这个问题的最早的正面结果是在随机几何学中获得的。这个学科主要研究点、线、面以及类似的几何体(更确切的说是\delta-厚度的几何体如球、管以及切片)等的相交的情形。1995年,Wolff通过引入有限域模(finite field model)将Kakeya猜想在随机几何学中描述如下:将域\mathbb R 替换为域\mathbb F_q 。其中阶数q是一个非常大的素数或者素数的幂。则Kakeya集合的界(1)可以转化为如下的形式:

\displaystyle \bigcup_{l\in L}\gg_\varepsilon q^{d+\varepsilon}\ \ \ \ \ \ (3)

其中,\varepsilon>0L是域\mathbb F^n_q中的一些线段的集合,这个集合包含每个方向上的线段。这样集合L的基数为q^{n-1}\#E表示集合E的基数。同样的道理,(2)式等价于证明

\displaystyle \|\sum_{l\in L}1_{l}\|_{L^{d/(d-1)}(\mathbb F^n_q)}\ll_\varepsilon q^{n-1+\varepsilon}\ \ \ \ \ \ (4)

由于

\displaystyle \|\sum_{l\in L}1_{l}\|_{L^1(\mathbb F^n_q)}\=q\#L\sim q^d,

乘积函数\sum_{l\in L}1_{l}的支撑在\cup_{l\in L} l上,应用H\”0lder不等式可知(4)式蕴含着(3)式。

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这篇文章发表与美国数学会Notice2009年2月。作者Freeman Dyson是普林斯顿高等研究院的荣誉退休教授。这篇文章是作者在2008年他在美国数学会爱因斯坦(Einstein)讲座上的讲稿。题目是《Birds and Frogs》。觉得挺有意思的,就拿来翻译一下。时间的关系,我每天翻译一点。第一次翻译,希望不要太难看!

数学家中有些是飞鸟,有些是泥蛙。飞鸟高高地翱翔于九天,俯瞰数学的广袤领域。他们喜欢那些能够统摄我们思想的概念,并能把不同领域的问题总结到一起。泥蛙低低地浅藏于泥土中,仅仅能看清离自己最近的花。他们喜欢解决一些具体的问题,并且每次只能思考一个问题。我刚好就是一只泥蛙,但我有很多飞鸟朋友。我今晚报告的主要思想就是:数学既需要飞鸟也需要泥蛙。数学的丰富与美丽就在于飞鸟发现了她宽广的领域而泥蛙发展了她复杂的细节。数学既是一门伟大的艺术又是一项重要的科学,原因在于她既包含了抽象概念又有深刻的结构。你不能说飞鸟和泥蛙那个比另一个更好。飞鸟能看得更远,泥蛙能做的更深。数学的世界就是一个极有宽度又有深度的世界。我们既需要飞鸟也需要泥蛙来探索这个深邃的世界。

这个报告叫做爱因斯坦(Einstein)报告,我也很感激美国数学会给我这个机会来感念Albert Einstein。Einstein不是数学家,作为一个物理学家他对数学有复杂的感情。一方面,他十分了解数学描述自然规律的能力,正是他对于数学美的敏感引导他走上了正确的探索之路。另一方面,他对纯数学又不感兴趣,他不具有作为数学家的一些数学技巧。他在晚年雇用了一名年轻的助手来为他做计算。他的思维更物理化而不是数学化。在物理学的世界里他是一之飞鸟。这就是我关于Einstein要说的所有东西,我将不会再说更多的事情因为我不了解。

弗朗西斯 培根(Francis Bacon) 与勒内 笛卡尔(Rene Descartes

十七世纪初,有两位伟大的哲学家,英国哲学家的弗朗西斯培根(Francis Bacon)和法国哲学家勒内 笛卡尔(Rene Descartes)。正是他们推动了现代科学的诞生。笛卡尔是一只飞鸟,培根是一只泥蛙。他们各自从完全不同的角度阐述的他们对未来的看法。Bacon认为,“所有的一切(理论)都必须着眼于对于自然的紧密观察。”而Descartes宣称“我思故我在。”对于Bacon来说,科学家就应该穿梭于世界各地搜集资料,直到积累足够的事实能够证明自然就是这样运行的。然后,科学家就可以从这些事实中归纳出自然的规律。对Descartes来说,科学家只要坐在家里通过思考来推断自然的规律。为了保证这个推断的正确性,科学家只要懂得逻辑并坚信上帝的存在。在Bacon和Descartes之后的四百年,科学沿着这两个人开创的不同路径齐头并进。尽管培根主义者的经验论和笛卡儿主义的推断论都没有能够独自阐明宇宙的秘密,他们依然取得了令人惊异的成就。在这四百年中,英国的科学家大多数成为培根主义者,而法国科学家倾向于成为笛卡儿主义者。法拉第(Faraday)、达尔文(Darwin)和卢瑟福(Rutherford)是培根主义者,帕斯卡(Pascal)、拉普拉斯(Laplace)以及庞加莱(Paincare)则是笛卡儿主义者。科学在这两种完全不同的文化环境中得到滋养。并且这两种文化在这两个国家都得到发展。牛顿(Newton)是笛卡儿主义者的核心人物,如同Descartes一样,Newton运用理性思考揭示了笛卡儿主义的漩涡论断。玛丽居里(Marie Curie)则是培根主义的核心,正是在煮了几顿中的铀矿之后,最终坚定了原子不灭的信条。

在二十世纪的数学史上,发生了两件决定性的事情。一件属于培根主义的范畴一件属于笛卡儿主义的传统。第一件事情发生在1900年的巴黎数学家大会上,希尔伯特(Hilbert)在这次大会上发表了关键性的演讲。通过提出著名的23个未解决问题,勾勒出来这个即将到来的新世纪的数学图景。Hilbert当然是一个数学的飞鸟,他高高地飞翔于数学的各个领域之间,但给那些每次只能解决一个问题的泥蛙提出问题让他们来解决。第二个重要事件是1930年代的法国的数学飞鸟布尔巴基学派(Bourbaki group)决定出版一系列教科书来统一整个数学的框架。Hilbert问题相当成功的引领了数学研究的发展并取得了丰硕的成果。尽管有些问题已经被解决有些问题还没有获得解决,但是它们刺激了新思想和新领域的产生。Bourbaki的工程也获得了相应的成功。它改变了接下来五十年的数学的发展模式,提出了在此之前不曾有过的逻辑系统,把从前关于具体例子的关注转移到抽象整体上来。在Bourbaki学派设想的计划中,数学就是包含在Bourbaki教科书中的抽象结构,不在这些教科书中的东西都不是数学。具体的例子,因为它们并不出现在教科书中,因此不是数学。Bourbaki计划就是极端的笛卡儿主义方式的数学。他们限制了数学的范围,由此可能会抛弃那些培根主义旅行者在野外捡拾的美丽花朵。

自然的玩笑

         对于一个像我这样的培根主义者来说,Bourbaki计划的不足就在于它可能错过很多令人惊喜的东西。它们注重于把数学弄得更逻辑化。然而,在我看来,数学史上有很多非逻辑上的跳跃、有很多不可能的偶然,就像自然和我们开的玩笑。其中最重要的一个玩笑是关于-1的平方根的。1926年物理学家额温薛定谔Erwin Schrodinger就把这个数放入了波动学的波方程中。Schrodinger是一个飞鸟,是他将波动说和粒子说进行了统一。在一百年前,哈密尔顿Hamilton用同样的数学公式分别描述光粒子和经典小粒子的运动轨迹,从而痛一了经典力学和光粒子学说。Schrodinger也希望用同样的方式来统一波的粒子性和波动性。在那个时候,波的粒子学说已经存在了,但是波动力学还不存在。他必须得引入波动方程来完成这个统一过程。首先以波粒子为模型,他写下了一个微分方程,但是这个方程没有任何意义。这个方程看起来更像在连续介质中的热传导方程。然而,热传导并没有明显的迹象和粒子波动有关系。Schrodinger此时可能已经在进行着其他一些思考。奇迹就在此时发生了,Schrodinger把-1的平方根放入了这个方程,突然间一起发生了改变。这个方程立刻看起来有意义了,一个波动方程而不是热方程就这样诞生了。Schrodinger发现他的方程的解确实与波尔Bohr原子模型的量子轨道相等的复合。
        现在我们知道,Schrodinger方程很好的描述了我们已知的关于原子的运动现象,并且成为所有化学和几乎所有物理学的基础。-1的平方根的存在说明自然以复数的形式存在而不是实数。这个发现不仅对于Schrodinger本人,对于每一个人来说都是难以置信的。 Schrodinger本人也说,在家的时候,他14岁大的“女朋友”Itha Junger也问他:“嗨,你开始的时候也不知道结果会出来这么微妙的东西吧!”整个19世纪,从Abel到Rieman和Weierstrass已经创建了一套宏伟的复变函数理论。他们发现,一旦从实变量推进到复变量,函数论变得比以前更强大更有用。然而,他们一直把复数看作有数学家人为的引入的数学工具,只看作真实世界一个有用的和优雅的抽象。他们从来不认为原子就运行于这个人为引入的数字系统之上,也从来不能想象自然早就有复数在那里等着人类去发现了。
自然的另一个玩笑是量子力学的线性性。即物理事件的各种可能的状态构成了一个线性空间。在量子力学引入之前,经典物理学都是非线性的,线性模型只是它们的逼近。有了量子力学之后,自然世界突然变成了线性的了。这在数学界也用深刻的影响。整个19世纪,索菲斯\cdot李(Sophus Lie)发展了他关于连续群的精细理论,从而能够明晰经典动力系统的运行行为。此后,李群就不再为数学家和物理学家所关注。李群的线性理论对数学家来说太复杂,对物理学家来说有太难了。李本人也在失望中去世。50年之后,人们发现自然世界确实是线性的,李代数的线性表示竟然就是粒子物理的自然表述语言。从此,李群和李代数获得重生,成为20世纪数学的核心主题。

       自然所开的第三个玩笑是拟正四面体的存在性。19世纪关于正多面体的研究同与欧氏空间中离散对称群的分类问题相关。人们已经证明,3维欧氏空间中的所有离散对称群仅仅包含3阶、4阶和6阶的旋转。这段比较难,我花点时间来翻译,现赶下一段。

        自然开的第四个玩笑是这个拟四面体同Riemann Zeta函数零点的行为的相似性。Zeta函数的零点令所有的数学家着迷,因为它的所有零点都在一条直线上,但人们不知道为什么。著名的Riemann猜想就是Zeta函数的零点除了某些平凡的例外,都落在一条直线上。证明Riemann猜想已经成为100多年来众多年轻数学家的梦想。我先不妨大胆提议可以用拟四面体来证明Riemann猜想。也许你们中有人认为我的提议很荒诞,也许你们中那些非数学家对这个问题不感兴趣, 我依然希望大家能慎重考虑我的建议。当物理学家Leo Szilard年轻的时候,对于Moses的十大定律不满意,所以从新写了一个定律集来替代这十条定律。Szilard的第二条定律写道:“向着既定的有价值的目标前进,不要讨论是否能够达到。他们只是一个模子和例子,而不是目的。”Szilard践行了他的理论。