Kakeya猜想的最新进展

为了促进学习，打算翻译Terence Tao博客上的这篇文章。题目是：Recent progress on Kakeya Conjecture.

下面的这篇文章是我在Fefferman会议上的一个讲稿。题目是：Recent progress on Kakeya Conjecture.

Kakeya的一系列猜想是我感兴趣的众多数学问题之一。关于这些猜想有很多不同的描述，下面的这个描述是最简单的一个：

给定一个 $\mathbb R^n$ 上的紧子集$\latex E\subset \mathbb R^n$, 它包含所有方向的单位向量。猜想 $E$ 的Hausdorff维数和Minkowski维数为 $n$ 。
这个包含各个方向单位向量的集合 $E$ 就是Kakeya集。Besicovitch已经证明当 $n\geq0$ 时，Kakeya集可以具有任意小Letesgue测度；实际上，它的Lebesgue测度可以使0。这也就是说Kakeya针问题（在一个平面上转动一个单位线段化过的最小面积是多少）的解是这个集合的面积可以是任意小（详细讨论点击进入）。

这个猜想在一维空间是平凡的，二维空间已经得到证明（参见Davies）。3维以上情形中，这个猜想还是公开问题。然而，关这个猜想有一系列的部分结果。特别是关于 $\mathbb R^n$ 上的Kakeya 集合的Hausdorff维数或者Minkowski维数至少是某些 $d$ 。(这些 $d$ 逐渐靠近 $n$ ）。我们可以通过如下的方式来构建一系列等价方式的结果。设 $0<\delta<1$ 任意小，设 $T_1,\cdots T_N$ 是一系列 $1\times\delta$ 细棒的集合。每个细棒指向一个 $\delta$ 分离的方向。即不同的细棒 $T_i,T_j$ 指向的方向 $\omega_i,\omega_j$ 之间的夹角 $\angle\omega_i\omega_j\geq\delta$ 。这个 $\delta$ 分离性保证了 $N$ 可以被 $o(\delta^{1-n})$ 控制。假设这个 $N$ 已经达到它的极大值，则我们有 $N\gg\delta^{1-n}$ 。因此，关于Kakeya猜想（关于Minkowski维数）可以等价于获得如下估计：

$\displaystyle |\bigcup_{i=1}^NT_i|\gg_\varepsilon\delta^\varepsilon.$

其中， $\varepsilon>0$ 为任意小常数， $|E|$ 表示集合 $E$ 的测度， $A\gg_\varepsilon B$ 表示差一个依赖于 $\varepsilon$ 的常数 $C_\varepsilon$ ， $A\geq C_\varepsilon B$ 。同理，一个部分结果

$\displaystyle |\bigcup_{i=1}^NT_i|\gg_\varepsilon\delta^{n-d+\varepsilon}\ \ \ \ \ \ (1)$

意味着Kakeya 集的（下）Minkowski维数为 $d$ ，其中 $0\leq d\leq n$ 。

另外，Kakeya 极大函数猜想也是一个有趣的问题。在上面的条件下，猜想如下不等式：

$\displaystyle \|\sum_{i=1}^N 1_{T_i}\|_{L^{d/(d-1)}(\mathbb R^n)}\ll_\varepsilon\big(\frac{1}{\delta}\big)^{\frac{n}{d}-1-\varepsilon}\ \ \ \ \ \ (2)$

其中， $1\leq d\leq n, \varepsilon>0$ 。这个猜想行对于 $d=1$ 是平凡的，当 $d$ 逼近$n$时，问题就变得十分复杂。对于给定的 $d$ ，可以证明(2)推出（1）。也就是说，(2)式成立意味着Kakeya集合的Minkowski维数为 $d$ ，事实上，(2)式还可以用于说明Kakeya集的Hausdorff维数为 $d$ 。之所以称(2)式为Kakeya极大函数猜想是因为（2）是如下Kakeya 极大函数：

$\displaystyle f^*_\delta(\omega):=\sup_{T//\omega}\frac{1}{T}\int_{T}|f|,$

$L^p$ 估计的对偶形式。这个极大函数是所有指向 $\omega$ 方向的 $1\times \delta$ 细棒集合上的Hardy-Littlewood极大函数的变形。但是在我们的讨论中将不再提及这个极大函数。

Kakeya猜想可以在数学的很多领域都有广泛的应用。如在Fourier分析（首先由Fefferman引入）、波动方程（由Wolff引入）、数论（由Bourgain引入）、图论(由Bourgain引入)以及计算机科学中的随机数论（由Dyirand Wigderson引入）等等。然而，在本文中，我们并不关注Kakeya猜想在数学其他众多领域的影响力，而主要探讨在那些数学领域中，Kakeya猜想本身的研究得到了推进。特别要注意的是，在这些领域内的新技巧在Kakeya猜想的研究中已经取得了一些非平凡的部分结果。我更关心的是，这些领域的技巧是怎样应用到Kakeya问题上来的。

随机几何学
可加组合学
多尺度分析
热流
代数几何学
代数拓扑学

1、随机几何学

自从Kakeya猜想的现代表述产生之后，关于这个问题的最早的正面结果是在随机几何学中获得的。这个学科主要研究点、线、面以及类似的几何体（更确切的说是 $\delta-$ 厚度的几何体如球、管以及切片）等的相交的情形。1995年，Wolff通过引入有限域模（finite field model）将Kakeya猜想在随机几何学中描述如下：将域 $\mathbb R$ 替换为域 $\mathbb F_q$ 。其中阶数 $q$ 是一个非常大的素数或者素数的幂。则Kakeya集合的界(1)可以转化为如下的形式：