为了促进学习,打算翻译Terence Tao博客上的这篇文章。题目是:Recent progress on Kakeya Conjecture.

      下面的这篇文章是我在Fefferman会议上的一个讲稿。题目是:Recent progress on Kakeya Conjecture.

      Kakeya的一系列猜想是我感兴趣的众多数学问题之一。关于这些猜想有很多不同的描述,下面的这个描述是最简单的一个:

      给定一个\mathbb R^n上的紧子集$\latex E\subset \mathbb R^n$, 它包含所有方向的单位向量。猜想EHausdorff维数Minkowski维数n
这个包含各个方向单位向量的集合E就是Kakeya集。Besicovitch已经证明当n\geq0时,Kakeya集可以具有任意小Letesgue测度;实际上,它的Lebesgue测度可以使0。这也就是说Kakeya针问题(在一个平面上转动一个单位线段化过的最小面积是多少)的解是这个集合的面积可以是任意小(详细讨论点击进入)。

     这个猜想在一维空间是平凡的,二维空间已经得到证明(参见Davies)。3维以上情形中,这个猜想还是公开问题。 然而,关这个猜想有一系列的部分结果。特别是关于\mathbb R^n上的Kakeya 集合的Hausdorff维数或者Minkowski维数至少是某些d。(这些d逐渐靠近n)。我们可以通过如下的方式来构建一系列等价方式的结果。设0<\delta<1任意小,设T_1,\cdots T_N是一系列1\times\delta细棒的集合。每个细棒指向一个\delta分离的方向。即不同的细棒T_i,T_j指向的方向\omega_i,\omega_j之间的夹角\angle\omega_i\omega_j\geq\delta。这个\delta分离性保证了N可以被o(\delta^{1-n})控制。假设这个N已经达到它的极大值,则我们有N\gg\delta^{1-n}。因此,关于Kakeya猜想(关于Minkowski维数)可以等价于获得如下估计:

\displaystyle |\bigcup_{i=1}^NT_i|\gg_\varepsilon\delta^\varepsilon.

其中,\varepsilon>0为任意小常数,|E|表示集合E的测度,A\gg_\varepsilon B表示差一个依赖于\varepsilon的常数C_\varepsilonA\geq C_\varepsilon B。同理,一个部分结果

\displaystyle |\bigcup_{i=1}^NT_i|\gg_\varepsilon\delta^{n-d+\varepsilon}\ \ \ \ \ \ (1)

意味着Kakeya 集的(下)Minkowski维数为d,其中0\leq d\leq n

   另外,Kakeya 极大函数猜想也是一个有趣的问题。在上面的条件下,猜想如下不等式:

\displaystyle \|\sum_{i=1}^N 1_{T_i}\|_{L^{d/(d-1)}(\mathbb R^n)}\ll_\varepsilon\big(\frac{1}{\delta}\big)^{\frac{n}{d}-1-\varepsilon}\ \ \ \ \ \ (2)

其中,1\leq d\leq n, \varepsilon>0。 这个猜想行对于d=1是平凡的,当d逼近$n$时,问题就变得十分复杂。对于给定的d,可以证明(2)推出(1)。也就是说,(2)式成立意味着Kakeya集合的Minkowski维数为d,事实上,(2)式还可以用于说明Kakeya集的Hausdorff维数为d。之所以称(2)式为Kakeya极大函数猜想是因为(2)是如下Kakeya 极大函数:

\displaystyle f^*_\delta(\omega):=\sup_{T//\omega}\frac{1}{T}\int_{T}|f|,

L^p估计的对偶形式。这个极大函数是所有指向\omega方向的1\times \delta细棒集合上的Hardy-Littlewood极大函数的变形。但是在我们的讨论中将不再提及这个极大函数。

      Kakeya猜想可以在数学的很多领域都有广泛的应用。如在Fourier分析(首先由Fefferman引入)、波动方程(由Wolff引入)、数论(由Bourgain引入)、图论(由Bourgain引入)以及计算机科学中的随机数论(由Dyirand Wigderson引入)等等。然而,在本文中,我们并不关注Kakeya猜想在数学其他众多领域的影响力,而主要探讨在那些数学领域中,Kakeya猜想本身的研究得到了推进。特别要注意的是,在这些领域内的新技巧在Kakeya猜想的研究中已经取得了一些非平凡的部分结果。我更关心的是,这些领域的技巧是怎样应用到Kakeya问题上来的。

  • 随机几何学
  • 可加组合学
  • 多尺度分析
  • 热流
  • 代数几何学
  • 代数拓扑学

1、随机几何学

自从Kakeya猜想的现代表述产生之后,关于这个问题的最早的正面结果是在随机几何学中获得的。这个学科主要研究点、线、面以及类似的几何体(更确切的说是\delta-厚度的几何体如球、管以及切片)等的相交的情形。1995年,Wolff通过引入有限域模(finite field model)将Kakeya猜想在随机几何学中描述如下:将域\mathbb R 替换为域\mathbb F_q 。其中阶数q是一个非常大的素数或者素数的幂。则Kakeya集合的界(1)可以转化为如下的形式:

\displaystyle \bigcup_{l\in L}\gg_\varepsilon q^{d+\varepsilon}\ \ \ \ \ \ (3)

其中,\varepsilon>0L是域\mathbb F^n_q中的一些线段的集合,这个集合包含每个方向上的线段。这样集合L的基数为q^{n-1}\#E表示集合E的基数。同样的道理,(2)式等价于证明

\displaystyle \|\sum_{l\in L}1_{l}\|_{L^{d/(d-1)}(\mathbb F^n_q)}\ll_\varepsilon q^{n-1+\varepsilon}\ \ \ \ \ \ (4)

由于

\displaystyle \|\sum_{l\in L}1_{l}\|_{L^1(\mathbb F^n_q)}\=q\#L\sim q^d,

乘积函数\sum_{l\in L}1_{l}的支撑在\cup_{l\in L} l上,应用H\”0lder不等式可知(4)式蕴含着(3)式。

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